Алгоритм деления «уголком» многочленов от одной переменной

Напомним, что разделить натуральное число a на натуральное число b – это значит представить число a в виде:

a = bc + r ,

где частное c и остаток r – целые неотрицательные числа, причем остаток r удовлетворяет неравенству:

Если друг на друга делить многочлены, то возникает похожая ситуация.

Действительно, при выполнении над многочленами операций сложения, вычитания и умножения результатом всегда будет многочлен. В частности, при перемножении двух многочленов , отличных от нуля, степень произведения будет равна сумме степеней сомножителей.

Однако в результате деления многочленов многочлен получается далеко не всегда.

Говорят, что один многочлен нацело (без остатка) делится на другой многочлен , если результатом деления является многочлен.

Если же один многочлен не делится нацело на другой многочлен, то всегда можно выполнить деление многочленов с остатком , в результате которого и частное, и остаток будут многочленами.

Определение . Разделить многочлен a (x ) на многочлен b (x ) с остатком – это значит представить многочлен a (x ) в виде

a (x ) = b (x ) c (x ) + r (x ) ,

где многочлен c (x ) – частное , а многочлен r (x ) – остаток , причем, степень остатка удовлетворяет неравенству:

Очень важно отметить, что формула

a (x ) = b (x ) c (x ) + r (x )

является тождеством , т.е. равенством, справедливым при всех значениях переменной x .

При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен меньшей степени в частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней делимого и делителя.

Один из способов деления многочленов с остатком – это деление многочленов «уголком» , что представляет собой полную аналогию с тем, как это происходит при делении целых чисел.

К описанию этого способа деления многочленов мы сейчас и переходим.

Пример . Заранее расположив многочлены по убывающим степеням переменной, разделим многочлен

2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1

на многочлен

x 2 - x + 1 .

Решение . Опишем алгоритм деления многочленов «уголком» по шагам:

Запись изложенного процесса деления многочленов «уголком» имеет следующий вид:индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

Научить ребенка делению столбиком просто. Необходимо объяснить алгоритм этого действия и закрепить пройденный материал.

Согласно школьной программе, деление столбиком детям начинают объяснять уже в третьем классе. Ученики, которые схватывают все «на лету», быстро понимают эту тему
Но, если ребенок заболел и пропустил уроки математики, или он не понял тему, тогда родители должны самостоятельно малышу объяснить материал. Нужно максимально доступно донести до него информацию
Мамы и папы во время учебного процесса ребенка должны быть терпеливыми, проявляя такт по отношению к своему чаду. Ни в коем случае нельзя кричать на ребенка, если у него что-то не получается, ведь так можно отбить у него всю охоту к занятиям

Важно: Чтобы ребенок понял деление чисел, он должен досконально знать таблицу умножения. Если малыш плохо знает умножение, он не поймет деление.

Во время домашних дополнительных занятий можно пользоваться шпаргалками, но ребенок должен выучить таблицу умножения, прежде чем, приступать к теме «Деление».

Итак, как объяснить ребенку деление столбиком :

Постарайтесь сначала объяснить на маленьких цифрах. Возьмите счетные палочки, например, 8 штук
Спросите у ребенка, сколько пар в этом ряду палочек? Правильно — 4. Значит, если разделить 8 на 2, получится 4, а при делении 8 на 4 получится 2
Пусть ребенок сам разделит другое число, например, более сложное: 24:4
Когда малыш освоил деление простых чисел, тогда можно переходить к делению трехзначных чисел на однозначные

Деление всегда дается детям немного сложнее, чем умножение. Но усердные дополнительные занятия дома помогут малышу понять алгоритм этого действия и не отставать от сверстников в школе.

Начинайте с простого — деление на однозначное число:

Важно: Просчитайте в уме, чтобы деление получилось без остатка, иначе ребенок может запутаться.

Например, 256 разделить на 4:

Начертите на листе бумаги вертикальную линию и разделите ее с правой части пополам. Слева напишите первую цифру, а справа над чертой вторую
Спросите у малыша, сколько четверок помещается в двойке — нисколько
Тогда берем 25. Для наглядности отделите это число сверху уголком. Опять спросите у ребенка, сколько помещается четверок в двадцати пяти? Правильно — шесть. Пишем цифру «6» в правом нижнем углу под линией. Ребенок должен использовать таблицу умножения для правильного ответа
Запишите под 25 цифру 24, и подчеркните, чтобы записать ответ — 1
Опять спрашивайте: в единице сколько помещается четверок — нисколько. Тогда сносим к единице цифру «6»
Получилось 16 — сколько четверок помещается в этом числе? Правильно — 4. Записываем «4» рядом с «6» в ответе
Под 16 записываем 16, подчеркиваем и получается «0», значит мы разделили правильно и ответ получился «64»

Письменное деление на двузначное число

Когда ребенок освоил деление на однозначное число, можно двигаться дальше. Письменное деление на двузначное число чуть сложнее, но если малыш поймет, как производится это действие, тогда ему не составит труда решать такие примеры.

Важно: Снова начинайте объяснять с простых действий. Ребенок научится правильно подбирать цифры и ему будет легко делить сложные числа.

Выполните вместе такое простое действие: 184:23 — как нужно объяснять:

Разделим сначала 184 на 20, получается примерно 8. Но мы не пишем цифру 8 в ответ, так как это пробная цифра
Проверяем, подходит 8 или нет. Умножаем 8 на 23, получается 184 — это именно то число, которое у нас стоит в делителе. Ответ будет 8

Важно: Чтобы ребенок понял, попробуйте вместо восьмерки взять 9, пусть он умножит 9 на 23, получается 207 — это больше, чем у нас в делителе. Цифра 9 нам не подходит.

Так постепенно малыш поймет деление, и ему будет легко делить более сложные числа:

Разделим 768 на 24. Определите первую цифру частного — делим 76 не на 24, а на 20, получается 3. Записываем 3 в ответ под чертой справа
Под 76 записываем 72 и проводим линию, записываем разность — получилось 4. Эта цифра делится на 24? Нет — сносим 8, получается 48
Цифра 48 делится на 24? Правильно — да. Получается 2, записываем эту цифру в ответ
Получилось 32. Теперь можно проверить — правильно ли мы выполнили действие деления. Сделайте умножение в столбик: 24х32, получается 768, значит все правильно

Если ребенок научился выполнять деление на двузначное число, тогда необходимо перейти к следующей теме. Алгоритм деления на трехзначное число такой же, как и алгоритм деления на двузначное число.

Например:

Разделим 146064 на 716. Берем сначала 146 — спросите у ребенка делится это число на 716 или нет. Правильно — нет, тогда берем 1460
Сколько раз число 716 поместится в числе 1460? Правильно — 2, значит пишем эту цифру в ответе
Умножаем 2 на 716, получается 1432. Записываем эту цифру под 1460. Получается разность 28, записываем под чертой
Сносим 6. Спросите у ребенка — 286 делится на 716? Правильно — нет, поэтому пишем 0 в ответе рядом с 2. Сносим еще цифру 4
Делим 2864 на 716. Берем по 3 — мало, по 5 — много, значит получается 4. Умножаем 4 на 716, получается 2864
Запишите 2864 под 2864, получается в разности 0. Ответ 204

Важно: Для проверки правильности выполнения деления, умножьте вместе с ребенком в столбик — 204х716=146064. Деление выполнено правильно.

Пришло время ребенку объяснить, что деление может быть не только нацело, но и с остатком. Остаток всегда меньше делителя или равен ему.

Деление с остатком следует объяснять на простом примере: 35:8=4 (остаток 3):

Сколько восьмерок помещается в 35? Правильно — 4. Остается 3
Делится эта цифра на 8? Правильно — нет. Получается, остаток 3

После этого ребенок должен узнать, что можно продолжать деление, дописывая 0 к цифре 3:

В ответе стоит цифра 4. После нее пишем запятую, так как добавление нуля говорит о том, что число будет с дробью
Получилось 30. Делим 30 на 8, получается 3. Записываем в ответ, а под 30 пишем 24, подчеркиваем и пишем 6
Сносим к цифре 6 цифру 0. Делим 60 на 8. Берем по 7, получается 56. Пишем под 60 и записываем разность 4
К цифре 4 дописываем 0 и делим на 8, получается 5 — записываем в ответ
Вычитаем 40 из 40, получается 0. Итак, ответ: 35:8=4,375

Совет: Если ребенок что-то не понял — не злитесь. Пусть пройдет пару дней и снова постарайтесь объяснить материал.

Уроки математики в школе также будут закреплять знания. Пройдет время и малыш будет быстро и легко решать любые примеры на деление.

Алгоритм деления чисел заключается в следующем:

Сделать прикидку числа, которое будет стоять в ответе
Найти первое неполное делимое
Определить число цифр в частном
Найти цифры в каждом разряде частного
Найти остаток (если он есть)

По такому алгоритму выполняется деление как на однозначные числа, так и на любое многозначное число (двузначное, трехзначное, четырехзначное и так далее).

Занимаясь с ребенком, чаще ему задавайте примеры на выполнение прикидки. Он должен быстро в уме подсчитать ответ. Например:

1428:42
2924:68
30296:56
136576:64
16514:718

Для закрепления результата можно использовать такие игры на деление:

«Головоломка». Напишите на листе бумаги пять примеров. Только один из них должен быть с правильным ответом.

Условие для ребенка: Среди нескольких примеров, только один решен правильно. Найди его за минуту.

Видео: Игра арифметика для детей сложение вычитание деление умножение

Видео: Развивающий мультфильм Математика Изучение наизусть таблицы умножения и деления на 2

Видео: Знакомство с делением | Забавная МАТЕМАТИКА для малышей

Видео: Деление двузначного числа на однозначное

Когда ребенок дополнительно занимается дома, он закрепляет пройденный материал в школе. Благодаря этому ему легче учиться и он не будет отставать от сверстников. Поэтому помогайте своим детям, занимайтесь дома с ними вместе. и у малыша все получится!

Деление чисел рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число a на натуральное число b - это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r , что a = b·q+ r , причем 0 ≤ r < b .

Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица однозначных чисел. Например, частным чисел 56 и 8 будет число 7, так как 8·7 = 56. Если же надо разделить 52 на 8, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 8 - это будет число 48, и, следовательно, неполным частным при делении 52 на 8 будет число 6. Чтобы найти остаток, надо из 52 вычесть 48: 52 - 48 = 4. Таким образом, 52 = 8·6 + 4, т.е. при делении 52 на 8 получается неполное частное 6 и остаток, равный 4.

Задача 8. Проиллюстрировать теоретические основы деления трехзначного числа 377 на однозначное число 4.

Решение . Разделить 377 на 4 - это значит найти такое неполное частное q и остаток r , что 377 = 4q + r , причем остаток r должен удовлетворять условию 0 ≤ r < b , а неполное частное q - условию 4 q ≤ 377 < 4·(q + 1).

Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q . Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условия, сформулированные выше для r и q . Если число q двузначное, т.е. если 10 < q < 100, то тогда 40 < 4q < 400 и, следовательно, 40 < 377 < 400, что верно. Значит, частное чисел 377 и 4 - число двузначное.

Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4·90 = 360, а 4·100 = 400, и 360 < 377 < 400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q = 90 + q0 . Но тогда должны выполняться неравенства:

4·(90 + q0 ) ≤ 377 < 360 + 4·(90 + q0 + 1), откуда

360 + 4q0 ≤ 377 < 360 + 4·(q0 + 1) и 4q 0 ≤ 17 < 4·(q0 + 1).

Число q0 (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей . Получаем, что q0 = 4 и, следовательно, неполное частное q = 90 + 4 = 94. Остаток находится вычитанием: 377 - 4·94 = 1.

Итак, при делении числа 377 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 1: 377=4·94+1.

Задача 9. Проиллюстрировать теоретические основы деления многозначного числа 4316 на многозначное число 52.

Решение . Разделить 4316 на 52 - это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r , что 4316 = 52 q + r , 0 ≤ r < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q ≤ 4316 < 52(q + 1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q - двузначное число), так как 520 < 4316 < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52·80 = 4160, а 52·90 = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства:

52·(80 + q0 ) ≤ 4316 < 52·(80 + q0 + 1),

4160 + 52 q0 ≤ 4316 < 4160 + 52·(q0 + 1),

52 q0 ≤ 153 < 52·(q0 + 1).

Число q0 (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156 = 52·3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.

Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:

Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.

1. Если а = b , то частное q = 1, остаток r = 0.

2. Если а > b и число разрядов в числах a и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так как а < 10b . Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел а и b.

3. Если а > b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

а) выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d1 больше или равное b. Перебором находим частное q1 чисел d1 и b, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываем q1 под уголком (ниже b) ;

б) умножаем b на q1 и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq1 был написан под младшим разрядом выделенного числа d1 ;

в) проводим черту под bq1 и находим разность r1 = d1 - bq1 ;

г) записываем разность r1 под числом bq1, приписываем справа к r1 старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d2 с числом b.

д) если полученное число d2 больше или равно b, то относительно него поступаем согласно п. 1 или п. 2. Частное q2 записываем после q1 ;

е) если полученное число d2 меньше b , то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d3, большее или равное b. В этом случае записываем после q1 такое же число нулей. Затем относительно d3 поступаем согласно пункты 1, 2. Частное q2 записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа а окажется, что d3 < b, то тогда частное чисел d3 и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом к частному, а остаток r = d3.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Не выполняя деления, определите число цифр частного чисел:

а) 475 и 7; б) 6134 и 226; в) 5683 и 25; г) 43127 и 536.

2. Проиллюстрируйте теоретические основы деления трехзначного числа 868 на однозначное число 3.

3. Найдите двумя способами значение выражения:

а) (297 + 405 + 567):27; в) 56·(378:14);

б) (240·23):48; г) 15120:(14·5·8).

4. Найдите значение выражения:

а) 8919:9 + 114240:21; б) 1190 - 35360: 34 + 271; в) 8631 - (99 + 44352:63);

г) 48600·(5045 - 2040) : 243 - (8604 3:43 + 504)·200.

«Деление на однозначное число» - Алгоритм письменного деления. Деление «в столбик». Устный счёт. Найти первое неполное делимое. Самостоятельная работа. Найти цифры в каждом разряде частного. Деление на однозначное число «в столбик». Определить число цифр в частном.

«Задания на деление» - Сколько кг воздуха потребуется на наш класс. Экология. Скворец. Хозяева нашей природы. Заинька-трусишка. Дятел. Проверьте себя. Индюк. Поползень. Определи свое настроение. Гепард и зебра. Сколько видов растений на Земле на грани исчезновения. Деление на двузначное число. Наука. Трудолюбивые санитары леса.

«Деление на 9» - Вы готовы к волшебству. Умножение девяти и на 9, соответствующие случаи деления. Положите обе ладони на стол и запомните номера ваших пальчиков. Компьютер-математик готов работать с нами, А главное число узнаете сами. (Через 5 секунд фигуры удаляем с помощью кнопок вверх-вниз.). Цель урока. I. Организационный момент.

«Смысл действия деления» - Выбор этого подхода. Численность множеств, полученных в результате разбиения. Частное может обозначать число частей. Девочек две. Основа формирования. Число 5 означает, что 2 содержится в 10 пять раз. У Коли 10 тетрадей, у Пети – 2. Одни будут брать по одному яблоку. Множество всех яблок будет разделено.

«Математика 2 класс» - На сколько больше банок краски израсходовали, чем осталось? Станция «Узнавай-ка». Периметр квадрата со стороной 5см. Сумма множитель угол частное произведение единица вычитание. «Закрепляй-ка». Сколько банок краски осталось? «Неопознанные объекты». Узнайте периметр прямоугольника со сторонами 7см и 4см.

«Математика Деление» - Выполните деление. Число х Положительное Положительное Отрицательное Отрицательное. Проверь себя: Частное х и у. Число у Положительное Отрицательное Положительное Отрицательное. Какое число получится? Правила: Отрицательное. В каких случаях может быть верно равенство: Верно ли выполнено деление: Математика 6 класс.

Всего в теме 27 презентаций

В процессе изучения деления многозначных чисел учащиеся должны усвоить основные устные и письменные приёмы деления, овладеть соответствующими вычислительными умениями и навыками, расширить, углубить и систематизировать знания о действии деления, их свойстве, о взаимосвязях между результатами и компонентами действий, об изменении произведения и частного при изменении одного из компонентов.

Алгоритм письменного деления:

Образуют первое неполное делимое и устанавливают число цифр частного, неполное делимое делят на делитель, чтобы найти соответствующую цифру частного;

Найденную цифру частного умножают на делитель, для того чтобы узнать, сколько единиц соответствующего разряда разделили;

Полученное произведение вычитают из неполного делимого, для того чтобы узнать, сколько единиц этого разряда осталось разделить;

Проверяют, правильно ли найдена цифра частного, сравнив полученную разность с делителем.

При ознакомлении с приёмом письменного деления на однозначное число целесообразно сначала выполнить деление устно с развёрнутой записью и подробным объяснением. Так, предлагается решить пример 956:4. Ученики выделяют удобные слагаемые и выполняют деление:

956:4=(800+120+36) :4=800:4+120:4+36:4=200+30+9=239

При этом учитель объясняет, что решение этого примера можно выполнить письменно и записать его в столбик. Показывает запись и даёт такое объяснение:

Делимое 956, делитель 4. Первое неполное делимое-9сот., значит, в частном будет три цифры. Узнаем, сколько сотен будет в частном: разделим 9 на 4, получится 2. Узнаем, сколько сотен разделили: умножим 2 на 4, получится 8. Узнаем, сколько осталось разделить: вычтем 8 из 9, получится 1. Одну сотню нельзя разделить на 4 так, чтобы получить сотни, значит, цифра 2 найдена правильно.

Образуем второе неполное делимое: 1 сот.-это10 дес., к 10 дес. Прибавим 5 дес., получится 15 дес. Узнаем, сколько десятков будет в частном: разделим 15 на 4, получится 3 и т д. Частное 239.

Усвоению приёма письменного деления помогает использование памятки с заданиями, записанными на карточках или в виде плаката, выполнение которых в указанном порядке приводит к нахождению частного.

Задания памятки:

1. Прочитай и запиши пример.

2. Выдели первое неполное делимое и установи число цифр в частном.

3. Раздели неполное делимое на делитель и найди цифру частного.

4. Умножь цифру частного на делитель и узнай, сколько единиц этого разряда разделили.

5. Вычисли полученное произведение из неполного делимого и узнай, сколько единиц этого разряда осталось разделить.

6. Проверь, правильно ли подобрана цифра частного.

7. Образуй следующее неполное делимое и продолжай деление также до конца.

Рассматриваются не только случаи деления на однозначное число без остатка, но и с остатком. Рассуждение при делении с остатком ведётся также, как и при делении без остатка. В записи решения таких примеров остаток подписывается под последней чертой.

Деление на двузначные и трёхзначные разрядные числа. Подготовкой к введению новых приёмов деления будет повторение приёмов деления без остатка на 10, 100 и 1000, введение приёмов деления с остатком на эти числа, а также изучение свойства деления числа на произведение.

Пусть требуется разделить:

Первое неполное делимое-498 дес., значит, в частном будет 2 цифры. Узнаем, сколько десятков будет в частном: разделим 498 на 10 и полученное частное 49 разделим на 6, поучится 8. Узнаем сколько десятков разделили: умножим 60 на 8, получится 480. Узнаем, сколько десятков осталось разделить: вычтем 480 из 498, получится 18. Нельзя 18 десятков разделить на 60 так, чтобы получились десятки, значит, цифра десятков подобрана правильно. Образуем второе неполное делимое: 18 дес-это 180 ед.

При делении многозначных чисел на двузначное и трёхзначное число пользуются свойством деления суммы на число. Для нахождения цифр частного пользуются приёмом замены делителя разрядным числом.

Приознакомление с делением на двузначное число сначала решаются примеры на деление без остатка и с остатком трёхзначных чисел, когда цифру частного находят в результате одной пробы и когда в частном получают однозначное число. Здесь ученики знакомятся с приёмом замены делителя ближайшим разрядным числом. 315:63.

Чтобы найти цифру частного, заменим делитель ближайшим меньшим разрядным числом 60 и будем делить 315 на 60, для этого достаточно разделить 31 на 6, получим 5. Цифра 5 не окончательная а пробная, потому что надо было 315 делить на 63, а не на 60. Цифру 5 проверим: умножим 63 на 5 (устно), получим 315, значит, цифра 5 верна.

Опыт показывает, что при письменном делении на двузначное число целесообразнее в большинстве случаев заменять делитель ближайшим меньшим разрядным числом. При этом меньше изменений вносить в делитель: сохраняется число десятков, изменяется только число простых единиц.

Приём деления на трёхзначное число аналогичен приёму деления на двузначное. Например, при делении на 643 делитель заменяем числом 600 и цифры частного находим путём последовательного деления числа на 100 и на 6. Цифра частного проверяется устно, и в этом основная трудность деления. Можно объяснить детям, что при трёхзначном делителе нет надобности умножать на цифру частного всё трёхзначное число. Достаточно умножить только две цифры высших разрядов и сопоставить полученный результат с неполным делимым. Такого рода устные вычисления учащимся доступны.

Навыки письменного деления, особенно деления на двузначное и трёхзначное число, являются сложными. Поэтому, чтобы они успешно формировались, необходимо выполнить большое количество разнообразных упражнений в течении длительного времени.

Решение уравнений;

Сравнение числовых выражений;

Нахождение ошибок в вычислениях;

Выполнение письменных вычислений в решении текстовых задач;

©2015-2017 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.