История возникновения отрицательных чисел

История отрицательных чисел

Известно, что натуральные числа возникли при счете предметов. Потребность человека измерять величины и то обстоятельство, что результат измерения не всегда выражается целым числом, привели к расширению множества натуральных чисел. Были введены нуль и дробные числа.

Процесс исторического развития понятия числа на этом не закончился. Однако не всегда первым толчком к расширению понятия числа были исключительно практические потребности людей. Было и так, что задачи самой математики требовали расширения понятия числа. Именно так обстояло дело с возникновением отрицательных чисел. Решение многих задач, особенно решаемых с помощью уравнений, приводило к вычитанию из меньшего числа большего. Это потребовало введения новых чисел.

Впервые отрицательные числа появились в Древнем Китае уже примерно 2100 лет тому назад. Там умели также складывать и вычитать положительные и отрицательные числа, правила умножения и деления не применялись.

Во II в. до н. э. китайский ученый Чжан Цань написал книгу «Арифметика в девяти главах». Из содержания книги видно, что это не вполне самостоятельный труд, а переработка других книг, написанных задолго до Чжан Цаня. В этой книге впервые в науке встречаются отрицательные количества. Они понимаются им не так, как понимаем и применяем их мы. Полного и ясного понимания природы отрицательных величин и правил действия с ними у него нет. Каждое отрицательное число он понимал как долг, а положительное – как имущество. Действия с отрицательными числами он производил не так, как мы, а используя рассуждения о долге. Например, если к одному долгу прибавить другой долг, то в результате получиться долг, а не имущество (т, е. по нашему (- х) + (- х) = - 2х. Знака минус тогда не знали, поэтому, чтобы отличить числа, выражавшие долг, Чжань Цань писал их другими чернилами, чем числа, выражавшие имущество (положительные).

Положительные количества в китайской математике называли «чен» и изображали красным цветом, а отрицательные – «фу» и изображали черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Хотя китайские ученые и объяснили отрицательные количества как долг, а положительные - как имущество, всё же они избегали широкого употребления их, так как числа эти казались непонятными, действия с ними были неясны. Если же задача приводила к отрицательному решению, то старались заменить условие (как греки), чтобы в итоге получалось решение положительное.

В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. Для вычислений математики того времени пользовались счетной доской, на которой числа изображались с помощью счетных палочек. Так как знаков + и – в то время еще не было, палочками красного цвета изображали положительные числа, отрицательные же - палочками черного цвета и называли «долг» и «недостача». Положительные числа толковались как «имущество». В отличие от Китая в Индии были уже известны и правила умножения, деления. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 – около 660 гг.) мы читаем: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».

Отрицательными числами индийские математики пользовались при решении уравнений, причем вычитание заменяли добавлением с равнопротивоположным числом.

Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие ноль, что позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время ноль не признавали числом, «nullus» по - латыни – никакой, отсутствие числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системы координат ноль становится числом.

Греки тоже поначалу знаков не использовали. Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательные числа, и если при решении уравнения получался отрицательные корень, то он отбрасывал его как “недоступный”. И Диофант старался так сформулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избежать отрицательных корней, но вскоре Диофант Александрийский стал обозначать вычитание знаком .

Несмотря на то, что отрицательные числа использовались давно, относились к ним с некоторым недоверием, считая их не совсем реальными, истолкование их как имущество-долг вызывало недоумение: как можно «складывать» и «вычитать» имущество и долги?

В Европе признание наступило на тысячу лет позже. К идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами и пришел к мысли, что отрицательные количества надо принимать в смысле, противоположном положительным. В те годы были развиты так называемые математические поединки. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому (Фибоначчи) было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. «Этот случай, - сказал Фибоначчи, - невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг».

В 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков. Однако, в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.

Тем не менее до XVII века отрицательные числа были “в загоне” и долгое время их называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными ». И даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бессмысленными…

Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачеркнутым минусом!

Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками

« + » и « - » применил немецкий математик Видман.

Немецкий математик Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» (1544) впервые вводит понятие об отрицательных числах как о числах, меньших нуля (меньших, чем ничто). Это был очень большой шаг вперёд в деле обоснования отрицательных чисел. Он дал возможность рассматривать отрицательные числа не как долг, а совсем по-иному, по-новому. Но Штифель называл отрицательные числа абсурдными; действия с ними, по его словам, «тоже идут абсурдно , навыворот».

После Штифеля ученые стали более уверенно производить действия с отрицательными числами.

Все чаще сохранялись и истолковывались отрицательные решения в задачах.

В XVII в. великий французский математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на числовой оси влево от нуля. Нам сейчас кажется это все таким простым и понятным, но, чтобы дойти до этой мысли, потребовалось восемнадцать веков работы ученой мысли от китайского ученого Чжан Цаня до Декарта.

В трудах Декарта отрицательные числа получили, как говорят, реальное истолкование. Декарт и его последователи признавали их наравне с положительными. Но в действиях над отрицательными числами не все было ясно (например, умножение на них), поэтому многие ученые не желали признавать отрицательные числа за числа действительные. Среди ученых разгорелся большой и долгий спор о сущности отрицательных чисел о том признать отрицательные числа числами действительными или нет. Спор этот после Декарта продолжался около 200 лет. За этот период математика как наука получила очень большое развитие, и на каждом шагу в ней встречались отрицательные числа. Математика стала немыслимой, невозможной без отрицательных чисел. Все большему числу ученых становилось ясно, что отрицательные числа – это числа действительные, такие же реальные, на самом деле существующие числа, как числа положительные.

С трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. Как ни старались ученые избегать их. Все же удавалось это им не всегда. Жизнь ставила перед наукой новые и новые задачи, и все чаще и чаще задачи эти приводили к отрицательным решениям и в Китае, и в Индии, и в Европе. Только в начале XIX в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и «абсурдные числа» получили всеобщее признание.

Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах – числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки «+» и «-».

Как же возникают положительные, а тем более отрицательные числа в физике?

Физик имеет дело с различными физическими величинами, описывающими разнообразные свойства окружающих нас предметов и явлений. Высота здания, расстояние от школы до дома, масса и температура человеческого тела, скорость автомобиля, объем банки, сила электрического тока, показатель преломления воды, мощность ядерного взрыва, напряжение между электродами, продолжительность урока или перемены, электрический заряд металлического шарика – все это примеры физических величин. Физическую величину можно измерить.

Не следует думать, что любая характеристика предмета или явление природы может быть измерена и, следовательно, является физической величиной. Это совсем не так. Например, мы говорим: «Какие красивые горы вокруг! И какое красивое озеро там, в низу! А какая красивая ель вон на той скале! Но мы не можем измерить красоту гор, озера, или этой одинокой ели!» Значит такая характеристика, как красота, не является физической величиной.

Измерения физических величин проводятся при помощи измерительных приборов, таких как линейка, часы, весы и т. д.

Итак, числа в физике возникают в результате измерения физических величин, а численное значение физической величины, получаемое в результате измерения, зависит: от того, как определена эта физическая величина; от используемых единиц измерения .

Посмотрим на шкалу обычного уличного термометра.

Она имеет вид, изображенный на шкале 1. На ней нанесены только положительные числа, и поэтому при указании численного значения температуры приходится дополнительно пояснять 20 градусов тепла (выше нуля). Это для физиков неудобно – ведь слова в формулу не подставишь! Поэтому в физике применяется шкала с отрицательными числами.

Посмотрим на физическую карту мира. Участки суши на ней раскрашены различными оттенками зеленого и коричневого цветов, а моря и океаны раскрашены голубым и синим. Каждому цвету соответствует своя высота (для суши) или глубина (для морей и океанов). На карте нарисована шкала глубин и высот, которая показывает, какую высоту (глубину) означает тот или иной цвет,

Используя такую шкалу, достаточно указать число без всяких дополнительных слов: положительные числа отвечают различным местам на суше, находящимся над поверхностью моря; отрицательные числа соответствуют точкам, находящимся под поверхностью моря.

В рассмотренной нами шкале высот за нулевую принимается высота поверхности воды в Мировом океане. Эта шкала используется в геодезии и картографии.

В отличие от этого, в быту мы обычно за нулевую высоту принимаем высоту поверхности земли (в том месте, в котором мы находимся).

3.1 Как в древности считали года?

В разных странах по-разному. Например, в Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счёт лет начинался заново. Первый год правления царя считался первым годом, второй – вторым и так далее. Когда этот царь умирал и к власти приходил новый, вновь наступал первый год, затем второй, третий. Иным был счет лет, применявшийся жителями одного из древнейших городов мира-Рима. Год основания своего города римляне считали первым, следующий - вторым и так далее.

Счет лет, которым мы пользуемся, возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах. В нашей стране он введён царём Петром Первым триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н. Э.). Продолжается наша эра две тысячи лет.

Заключение

Большинство людей знают отрицательные числа, но есть и такие у которых представление отрицательных чисел неверное.

Отрицательные числа больше всего встречаются в точных науках, в математике и физике.

В физике отрицательные числа возникают в результате измерений, вычислений физических величин. Отрицательное число – показывает величину электрического заряда. В других науках, как географии и истории, отрицательное число можно заменить словами, например, ниже уровня моря, а в истории – 157 лет до н. э.

Литература

1. Большая научная энциклопедия, 2005.

2. Вигасин А. А,., «История древнего мира» учебник 5 класса , 2001г.

3.Выговская В. В. « Поурочные разработки по Математике:6 класс » - М.:ВАКО, 2008 г

4. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.

5. Детская энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.

6.. «Изучаем математику», учебное издание, 1994 г.

7. « Элементы историзма в преподавании математики в средней школе », Москва, «Просвещение», 1982г

8. Нурк Э. Р., Тельгмаа А. Э. «Математика 6 класс», Москва, «Просвещение»,1989г

9. «История математики в школе», Москва, «Просвещение», 1981 г.

Ещё несколько тысяч лет назад потребности в измерении привели к расширению множества натуральных чисел, которыми до тех пор пользовались люди. Были введены новые, дробные числа, с помощью которых стало возможно производить измерения (длин, площадей, веса и пр.) с любой степенью точности, допускаемой инструментами.

Не так обстояло дело с отрицательными числами. В практической деятельности людей не ощущалась потребность во введении отрицательных чисел, и они прочно вошли в математику и получили применение лишь в XVII веке.

Но в самой математике потребность в расширении числового множества путём введения новых, отрицательных чисел ощущалась уже давно, и по мере развития математической науки эта потребность становилась всё более настоятельной.

Так, ещё в III веке греческий математик Диофант при выполнении некоторых преобразований, например

фактически уже пользовался правилом умножения отрицательных чисел, которое он выражал так: «Отнимаемое, умноженное на прибавляемое, даёт в результате отнимаемое. Отнимаемое, умноженное на отнимаемое, даёт в результате прибавляемое».

Из этой формулировки видно, что Диофант ещё не признавал самостоятельного существования отрицательных чисел; для него они были прежними числами, «отнимаемыми» от какого-либо другого числа. Поэтому, если, например, при решении уравнения получался отрицательный корень, Диофант его просто отбрасывал как «недопустимый».

Но уже индийский учёный Брамагупта (VII век) в своих вычислениях свободно пользовался отрицательными числами и давал им наглядное истолкование. Он обозначал имущество положительными числами, а долг - отрицательными.

В этой наглядной форме он давал и правила действий с рациональными. числами, например: «Сумма двух имуществ - имущество. Сумма двух долгов - долг. Сумма имущества и долга равна их разности, а если они равны, то нулю» и т. д.

Индийский же математик Бхаскара (XII век) пользуется степенью отрицательного числа. В его сочинении «Венец системы» говорится:

«Квадрат как положительного, так и отрицательного числа даёт положительное число, например:

В Европе математики XVI века хотя и пользовались иногда отрицательными числами, всё же называли их сложными» и «неясными», «меньшими, чем ничто» и т. п.

Лишь голландский математик Жирар (XVI-XVII века) пользуется отрицательными числами наравне с положительными. Так, решая уравнение

он приводит три его корня:

Бурное развитие естествознания и техники в XVII веке предъявляло повышенные требования и к математике, требовало её дальнейшего развития и усовершенствования математического аппарата. Неприменение отрицательных чисел создавало излишние трудности в математических вычислениях и преобразованиях. Начиная с XVII века отрицательные числа прочно входят в математику и находят практические применения. Французский философ и математик Декарт даёт наглядное истолкование чисел с помощью точек числовой оси. Он пользуется отрицательными числами для графического изображения различных процессов и алгебраических выражений.

Человек изобрел число для того, чтобы как-то обозначать для себя и других результаты счета и измерения. Видимо, первые понятия о числе у людей появились еще в эпоху палеолита, но развились уже в неолите. Первой ступенькой в появлении чисел, видимо, стало осознание разделения меры на «один» и «много».

В Древнем мире впервые стали применяться специальные знаки для обозначения чисел: их изображения сохранились на глиняных табличках Междуречья, на египетских папирусах и так далее.

Математика развивалась дальше. И в различных странах стали формироваться свои особые, аутентичные и заметно отличные от прочих системы счисления. Даже школьнику сейчас известно, чем отличалось римское написание цифр и арабское. Цифры передавались из страны в страну, из культуры в культуру, как важное и ценное изобретение и наследие. Современные цифры, на которых построена как славянская, так и западная цивилизация – это цифры арабские, но заимствованные из Индии. Многие цифры, знакомые сейчас каждому, изобретены были в Индии, к примеру, цифра «0».

Деление чисел на положительные и отрицательные относится уже к разработкам математиков Средних веков. Опять-таки, отрицательные числа впервые стали применяться в Индии. Так купцам проще было рассчитывать убытки и долги. На то время арифметика уже была весьма разработанной прикладной сферой, и в свое развитие вступала алгебра. С введением Декартовой геометрии, его системы координат отрицательные числа прочно вошли в употребление. Отсюда они не выходят и по сей день.

Комплексные числа – это современное понятие, таковые числа зовутся еще «мнимыми числами» и выведены из формального решения кубических и квадратных уравнений. Их «отцом» был средневековый математик Джероламо Кардано. Во времена Декарта комплексные числа, как и отрицательные, прочно вошли в математический обиход.

Заключение……………………………………………………11

Литература…………………………………………………….12

Введение.

«

Тему для исследовательской работы мы выбрали неслучайно. Когда наш учитель математики спросил нас, знаем ли мы что-нибудь об отрицательных числах, мы удивлено переглянулись. Отаких числах мы слышали впервые! Но учитель утверждал,что эти числа нам встречались много раз в жизни.Это нас заинтересовало, и мы решили как можно больше узнать об этих числах. Изучая литературу, мы поняли, что отрицательные числа возникли из практических нужд людей. В нашем представлении было самое маленькое число 0,т.е. ничего, а оказывается, что есть еще числа и они меньше 0! Нам захотелось узнать судьбу отрицательных чисел, мы стали работать над этой темой.

Глава 1.История возникновения отрицательных чисел.

Древнем Китае уже примерно 2100 лет тому назад. Во II в. до н. э. китайский ученый ЧжанЦань написал книгу «Арифметика в девяти главах».Положительные количества в китайской математике называли «чен» , отрицательные - «фу» чен» - красным, «фу» - черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел - цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас.Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 - около 660 гг.) мы читаем: « имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество - долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».Тогда они назывались не отрицательными числами, а были «долгами» или «недостачей». Математик из Индии уже в то время рассматривал их наравне с положительными числами. Но в этом он был одинок. Понимание того, что отрицательные числа нужны и полезны, приходило постепенно. В Европе об отрицательных числах первым написал Леонард Пизанский в своей «Книге абака» в 1202 году. Изначально они также трактовались, как долг. Но даже несмотря на это в XVII такой знаменитый ученый как Паскаль считал, что если из ноля вычесть какое-либо положительное число, то в результате получится ноль.В явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Немецкий математик Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» (1544) впервые вводит понятие об отрицательных числах как о числах, меньших нуля (меньших, чем ничто). Это был очень большой шаг вперёд в деле обоснования отрицательных чисел. Он дал возможность рассматривать отрицательные числа не как долг, а совсем по-иному, по-новому. Но Штифель называл отрицательные числа абсурдными; действия с ними, по его словам, «тоже идут абсурдно, навыворот».

В XVII в. великий французский математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на числовой оси влево от нуля. Чтобы дойти до этой мысли, потребовалось восемнадцать веков работы ученой мысли от китайского ученого ЧжанЦаня до Декарта. С трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. Как ни старались ученые избегать их, все же удавалось это им не всегда. Жизнь ставила перед наукой новые и новые задачи, и все чаще и чаще задачи эти приводили к отрицательным решениям и в Китае, и в Индии, и в Европе. Только в началеXIX в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и «абсурдные числа» получили всеобщее признание.

В нашей жизни нам часто приходилось встречаться со знаками «+»и «-»,но мы не задумывались над тем, что они означают. Например, меняя батарейку в часах или в пульте управления машинкой, мы ставили ее так, чтобы «+»был с «+»,а «-» с «-». Когда мы были помладше, проводили следующие опыты,не подозревая,что это связано с положительными и отрицательными числами.

Опыт1.

Опыт 2.

Опыт 3. Сверните из тонкой бумаги две трубочки длиной 2-3см и диаметром 0,5см. Подвесьте их рядом (так, чтобы они слегка касались друг друга) на шелковых нитках. Расчесав волосы, прикоснитесь расческой к бумажным трубочкам – они сразу разойдутся в стороны и останутся в таком положении (то есть нитки будут отклонены). Мы видим, что трубочки отталкиваются друг от друга.

Опыт 4.

Оказывается положительные и отрицательные числа помогают нам определить температуру воздуха.

В Красноярске………..-6°

В Москве …..+4°

Один из нас должен был расспросить бабушку о ее очках,а другой - Дарью.Мы были удивлены: бабушка видит плохо на близкое расстояние-у нее очки «+», а Зарина - у нее «-».

Время,исчисляемое от Рождения Христова, мы называем НАША ЭРА

(пишем сокращенно Н.Э.)

Игра в кубики.

Красный кубик - выигрышный,синий - проигрышный.На гранях кубика- числа от 1 до 6.

Правила игры.

У одного из нас выпали кубикитак:

А у другого:

У другого: проигрышей- 8, выигрышей – 9, итого - 1 очко выиграно.

Заключение.

Работая над этой темой, мы узнали много нового и интересного. Очень интересная судьба у отрицательных чисел! Какая у них захватывающая линия времени от начала их возникновения до нашихдней.Мы были рады,когда наш учитель сказал, что самое интересное об отрицательных числах нас ждет впереди, ведь начнем изучать их в 6 классе!

Литература.

1. Вигасин А.А., Годер Г.И., «История древнего мира», учебник 5 кл.,2001 г.

2. Газета «Математика» №4, 2010г.

3. Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение»,1981г.

4. Детская научная энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.5. Сикорук Л.Л. «Физикадлямалышей» , 1983г.

6. Электронный ресурс:

http :// www . intelteach . ru

http://www.mathsun.ru

Приложение 1:

«Ну,погоди!» или «Отрицательные числа»-выпуск,который еще никто не видел!

Приложение2: Рисунки к опытам по физике.

Художники:Урумов Рудольф и Белов Алексей

VI

«ЗОНАДЫ ФИДÆН»

Направление:

Математика

ТЕМА:

«Судьба отрицательных чисел»

ученики 5 класса Урумов Рудольф Владимирович

Белов Алексей Михайлович

Место выполнения работы:

МБОУ СОШ № 2 г. Алагира

Научный руководитель:

учитель математики Кочиева Раиса Аполлоновна

2012-2013 учебный год

«Бумажный вариант работы»

Введение..…………………………………………………. 2

Глава 1.История возникновения отрицательных чисел........ 3

Глава 2. Отрицательные числа в физике…………………….5

Глава 3. Отрицательные числа в биологии.………………...7

Глава 4. Отрицательные числа в истории……………………8 Глава 5. Отрицательные числа в географии ………………..9 Глава 6. Отрицательные числа в играх……………………...10

Заключение……………………………………………………11 Литература…………………………………………………….12

Введение.

« Мы... никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы»

Тему для исследовательской работы мы выбрали неслучайно. Когда наш учитель математики спросил нас, знаем ли мы что-нибудь об отрицательных числах, мы удивлено переглянулись. О таких числах мы слышали впервые! Но учитель утверждал, что эти числа нам встречались много раз в жизни. Это нас заинтересовало, и мы решили как можно больше узнать об этих числах. Изучая литературу, мы поняли, что отрицательные числа возникли из практических нужд людей. В нашем представлении было самое маленькое число 0,т.е. ничего, а оказывается, что есть еще числа и они меньше 0! Нам захотелось узнать судьбу отрицательных чисел, мы стали работать над этой темой.

Глава 1. История возникновения отрицательных чисел.

Впервые отрицательные числа появились в Древнем Китае уже примерно 2100 лет тому назад. Во II в. до н. э. китайский ученый Чжан Цань написал книгу «Арифметика в девяти главах». Положительные количества в китайской математике называли «чен» , отрицательные - «фу» ; их изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу» - черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел - цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 - около 660 гг.) мы читаем: « имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество - долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму». Тогда они назывались не отрицательными числами, а были «долгами» или «недостачей». Математик из Индии уже в то время рассматривал их наравне с положительными числами. Но в этом он был одинок. Понимание того, что отрицательные числа нужны и полезны, приходило постепенно.
В Европе об отрицательных числах первым написал Леонард Пизанский в своей «Книге абака» в 1202 году. Изначально они также трактовались, как долг. Но даже несмотря на это в XVII такой знаменитый ученый как Паскаль считал, что если из ноля вычесть какое-либо положительное число, то в результате получится ноль. В явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Немецкий математик Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» (1544) впервые вводит понятие об отрицательных числах как о числах, меньших нуля (меньших, чем ничто). Это был очень большой шаг вперёд в деле обоснования отрицательных чисел. Он дал возможность рассматривать отрицательные числа не как долг, а совсем по-иному, по-новому. Но Штифель называл отрицательные числа абсурдными; действия с ними, по его словам, «тоже идут абсурдно, навыворот». Отрицательные числа он называл «меньше, чем ничего» или «ниже, чем ничего», положительные он назвал «больше, чем ничего» или «выше, чем ничего».

В XVII в. великий французский математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на числовой оси влево от нуля. Чтобы дойти до этой мысли, потребовалось восемнадцать веков работы ученой мысли от китайского ученого Чжан Цаня до Декарта. С трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. Как ни старались ученые избегать их, все же удавалось это им не всегда. Жизнь ставила перед наукой новые и новые задачи, и все чаще и чаще задачи эти приводили к отрицательным решениям и в Китае, и в Индии, и в Европе. Только в начале XIX в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и «абсурдные числа» получили всеобщее признание.

Глава 2. Отрицательные числа в физике

В нашей жизни нам часто приходилось встречаться со знаками «+» и «-», но мы не задумывались над тем, что они означают. Например, меняя батарейку в часах или в пульте управления машинкой, мы ставили ее так, чтобы «+»был с «+», а «-» с «-». Когда мы были помладше, проводили следующие опыты, не подозревая,что это связано с положительными и отрицательными числами.

Опыт 1. Положите на стол несколько маленьких кусочков тонкой бумаги. Возьмите чистую сухую пластмассовую расческу и 2-3 раза проведите ею по своим волосам. Расчесывая волосы, вы должны услышать легкое потрескивание. Затем медленно поднесите расческу к клочкам бумаги. Вы увидите, что они сначала притягиваются к расческе, а потом отталкиваются от нее.

Опыт 2. Поднесите расческу к тонкой струйке воды, спокойно вытекающей из крана. Вы увидите, что струйка заметно искривляется.

Опыт 3. Сверните из тонкой бумаги две трубочки длиной 2-3 см и диаметром 0,5 см. Подвесьте их рядом (так, чтобы они слегка касались друг друга) на шелковых нитках. Расчесав волосы, прикоснитесь расческой к бумажным трубочкам – они сразу разойдутся в стороны и останутся в таком положении (то есть нитки будут отклонены). Мы видим, что трубочки отталкиваются друг от друга.

Опыт 4. Потрите палочку о шелк и поднесите к обрывкам бумаги – они начнут «прыгать» на палочку точно так же, как и на расческу, и затем соскальзывать с нее. Струйка воды тоже отклоняется стеклянной палочкой, а бумажные трубочки, к которым вы палочкой прикоснулись, отталкиваются друг от друга.

В этих опытах проявляются силы притяжения и силы отталкивания. Оказывается, мы заряжали предметы. В опытах мы видели, что заряженные предметы могут притягиваться друг к другу, а могут и отталкиваться друг от друга. Это объясняется тем, что существует

два вида, два сорта электрических зарядов, причем заряды одного и того же вида отталкиваются друг от друга, а заряды разных видов притягиваются.

Оказывается положительные и отрицательные числа помогают нам определить температуру воздуха. Посмотрим на шкалу уличного термометра.

В конце телевизионной программы «Время» всегда передают прогноз погоды на завтра, на экране появляется надпись:

В Красноярске……….. -6°

В Москве ….. +4°

Знак «+», стоящий перед числом градусов, означает тепло, знак «-» - холод.

Глава 3. Отрицательные числа в биологии.

Наша учительница сказала, что в биологии мы точно встречались с отрицательными числами. Мы подумали и твердо ответили, что уж там их точно нет.

На вопрос носит ли в доме у нас кто-нибудь очки, один из нас ответил, что очки носит бабушка и вспомнили, что очки носит еще наша одноклассница Дарья.

Один из нас должен был расспросить бабушку о ее очках, а другой - Дарью. Мы были удивлены: бабушка видит плохо на близкое расстояние - у нее очки «+», а Зарина плохо видит отдалённые предметы - у нее «-».

И тут не обошлось без отрицательных чисел!

Глава 4. Отрицательные числа в истории

Счет лет, которым мы пользуемся, возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счет лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах.

В нашей стране он введен царем Петром Первым триста лет назад.

Время, исчисляемое от Рождения Христова, мы называем НАША ЭРА

(пишем сокращенно Н.Э.)

Глава 5. Отрицательные числа в географии .

Высоту гор и глубину морей тоже можно записать с помощью положительных и отрицательных чисел!

Глава 6. Отрицательные числа в играх.

Игра в кубики.

Красный кубик - выигрышный,синий - проигрышный. На гранях кубика- числа от 1 до 6.

Правила игры. Нужно каждому бросить три раза по два кубика: красный и синий и определить, кто выиграл, а кто проиграл.

У одного из нас выпали кубики так:

А у другого:

Мы нашли сумму очков в каждом случае.

У одного из нас получилось проигрышей -17, выигрышей - 9, итого 8 очей проиграно.

У другого: проигрышей - 8, выигрышей – 9, итого - 1 очко выиграно.

Наш учитель сказал, что и здесь можно воспользоваться отрицательными и положительными числами.

Мы поняли, что «+» - это выигрыш, а «-» - проигрыш.

Заключение.

Работая над этой темой, мы узнали много нового и интересного. Очень интересная судьба у отрицательных чисел! Какая у них захватывающая линия времени от начала их возникновения до наших дней. Мы были рады, когда наш учитель сказал, что самое интересное об отрицательных числах нас ждет впереди, ведь начнем изучать их в 6 классе!

Литература.

1. Вигасин А.А., Годер Г.И., «История древнего мира», учебник 5 кл., 2001 г.

2. Газета «Математика» № 4, 2010г.

3. Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение»,1981 г.

4. Детская научная энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995 г. 5. Сикорук Л.Л. «Физика для малышей» , 1983г.

6. Электронный ресурс:

http :// www . intelteach . ru

http://www.mathsun.ru

Приложение 1:

«Ну,погоди!» или «Отрицательные числа» - выпуск, который еще никто не видел!

Приложение 2: Рисунки к опытам по физике.

Художники: Урумов Рудольф и Белов Алексей

VI -ой районный научный конкурс молодых исследователей

«ЗОНАДЫ ФИДÆН»

Направление:

Математика

ТЕМА:

«Судьба отрицательных чисел»

ученики 5 класса Урумов Рудольф Владимирович

Белов Алексей Михайлович

Место выполнения работы:

МБОУ СОШ № 2 г. Алагира

Научный руководитель:

учитель математики Кочиева Раиса Аполлоновна

2012-2013 учебный год

Просмотр содержимого документа
«ТЕЗИСЫ»

ТЕЗИСЫ.

Тему для исследовательской работы мы выбрали неслучайно.

Когда наш учитель математики спросил нас, знаем ли что-нибудь об отрицательных числах, мы удивлено переглянулись: о таких числах мы слышали впервые. Мы решили как можно больше узнать об этих числах!

В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса.

С трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. Только в начале XIX в. «абсурдные числа» получили всеобщее признание.

В нашей жизни нам часто приходилось встречаться со знаками «+» и «-», но мы не задумывались над тем, что они означают.

Положительные и отрицательные числа помогают нам определить температуру воздуха, они встречаются в биологии. Счет лет, которым мы пользуемся, тоже ведется с помощью положительных и отрицательных чисел.

Высоту гор и глубину морей тоже можно записать с помощью положительных и отрицательных чисел! И, наконец, с их помощью мы можем играть!

Очень интересная судьба у отрицательных чисел! А самое интересное об отрицательных числах нас ждет впереди, ведь начнем изучать их в 6 классе!

Просмотр содержимого документа
«Титульный лист»

VI -ой районный научный конкурс молодых исследователей

«ЗОНАДЫ ФИДÆН»

Направление:

Математика

ТЕМА:

«Судьба отрицательных чисел»

ученики 5 класса Урумов Рудольф Владимирович

Белов Алексей Михайлович

Место выполнения работы:

МБОУ СОШ № 2 г. Алагира

Научный руководитель:

учитель математики Кочиева Раиса Аполлоновна

2012-2013 учебный год

Просмотр содержимого презентации
«Презентация»

Судьба отрицательных чисел

«Нелепые числа или меньше, чем ничего»

ученики 5 класса МБОУ СОШ № 2 г. Алагира Урумов Рудольф Владимирович и

Белов Алексей Михайлович

Научный руководитель:

Кочиева Раиса Аполлоновна, учитель математики

Введение..………………………………………………………. 2

Глава 1.История возникновения отрицательных чисел......... 3

Глава 2. Отрицательные числа в физике……………………….5

Глава 3. Отрицательные числа в биологии.……………….......7

Глава 4. Отрицательные числа в истории……………………...8 Глава 5. Отрицательные числа в географии ………………….9 Глава 6. Отрицательные числа в играх………………………… Заключение………………………………………………………...11 Литература…………………………………………………………12

Введение.

«Мы... никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы»

(Платон)

В нашем представлении самое маленькое число было 0, т.е. ничего, а оказывается, что есть еще числа и они меньше 0!

Нам захотелось узнать судьбу отрицательных чисел и мы стали работать над этой темой.

В Европе об отрицательных числах первым написал Леонард Пизанский в своей «Книге абака» в 1202 году.

В явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.

В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса,

а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса.

В XVII в. великий

французский математик

Рене Декарт предложил

откладывать отрицательные

числа на числовой оси влево от нуля

Отрицательные числа в физике

В нашей жизни нам часто приходилось встречаться со знаками «+» и «-»,но мы не задумывались над тем,что они означают .

Меняя батарейку в часах или в пульте управления машинкой, мы ставили ее так, чтобы «+» был с «+», а «-» с «-». Когда мы были помладше,

проводили следующие опыт ы,

не подозревая,

что это связано с положительными

и отрицательными числами.

ОПЫТЫ

Опыты.

Оказывается положительные и отрицательные числа помогают нам определить температуру воздуха.

10 C тепла

Положительная

температура

20 C мороза

Отрицательная

температура

В конце телевизионной

программы «Время»

всегда передают прогноз

погоды на завтра и на экране

появляется надпись:

В Красноярске……….. -6°

В Москве ….. +4°

Знак «+», стоящий перед

числом градусов, означает

тепло, знак «-» - холод.

Отрицательные числа в биологии.

Наша учительница сказала, что и в биологии мы можем

встретиться с отрицательными числами. Мы подумали и твердо ответили, что уж в биологии их точно нет.

Но и тут не обошлось без отрицательных чисел!

Отрицательные числа в истории

Счет лет, которым мы пользуемся, возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счет лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах. В нашей стране он введен царем Петром Первым триста лет назад.

Отрицательные числа в географии .

Высоту гор и глубину морей тоже можно записать с помощью положительных и отрицательных чисел!

Отрицательные числа в играх.

КУБИКИ

ИГРА

Играя в эту игру, мы поняли,

что выигрыш - это «+», а проигрыш – это «-».

Заключение.

Работая над этой темой, мы узнали много нового и интересного. Очень интересная судьба у отрицательных чисел! Какая у них захватывающая линия времени от начала их возникновения до наших дней. Мы были рады, когда наш учитель сказал, что самое интересное об отрицательных числах нас ждет впереди, ведь начнем изучать их в 6 классе!

Литература.

1. Вигасин А.А., Годер Г.И., «История древнего мира», учебник 5 кл.,

2001 г.

2.Газета «Математика» № 4, 2010г.

3.Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение»,1981 г.

4.Детская научная энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995 г. 5. 5. Сикорук Л.Л. «Физика для малышей» , 1983г. 6. Электронный ресурс: http://www.intelteach/ru

http://www.mathsun.ru

Рассмотрим, что такое отрицательные числа. Они входят во множество натуральных чисел и используются в математике для того, чтобы сделать вычитание такой же полноценной операцией, как и сложение. То есть, благодаря введению отрицательных чисел стало возможным не только вычитать из большего меньшее, но и наоборот. Все отрицательные числа меньше ноля и любого положительного числа. Они находятся на привычной всем оси координат слева от ноля. С отрицательными числами можно выполнять все те же арифметические действия, что и с положительными.

Особенности действий с отрицательными числами:

• произведения отрицательного числа на отрицательное будет положительным;
• произведение положительного на отрицательное будет отрицательным;
• при делении с остатком отрицательных чисел (или отрицательного и положительного числа) частное может отрицательными или положительным, остаток - всегда положительный.

Из истории отрицательных чисел

В античном мире (Древний Египет, Греция, Вавилон) отрицательные числа не использовались и отвергались как невозможные. Впервые их начали применять в Индии и Китае с 7 века нашей эры для обозначения долгов или недостачи в торговле. Но действия с отрицательными числами не были упорядочены. Индийский математик Брахмагупта начал рассматривать действия умножение и деление с ними чуть позже.

Пример использования отрицательного числа:

У купца было 10000 рублей. Он закупил товары на 8000. В остатке - 2000. Если же он закупит товаров на 12000, то останется должен 2000. А в его бухгалтерских записях эта сумма и отразится как отрицательное число -2000.

В Европе их начали применять в 1202 году. Математики Леонард Пизанский, Бомбелли, Жирар считали их пригодными для обозначения недостатка чего-либо, долгов. А вот знаменитый Паскаль отрицал их даже в 17 веке, и до конца жизни продолжал утверждать: "Ничто не может быть меньше, чем ничто (то есть ноль)". Окончательно теория по отрицательным числам была сформирована в 19 веке Уильямом Гамильтоном.

Известные отрицательные числа:

• − 273,15 °C Абсолютный нуль температуры по шкале Кельвина;
• − 1,602 176 565.10 −19 Кл. Величина заряда электрона;
• − 270,85 °C Температура космоса.

Запись отрицательных чисел

До сих пор в математике нет отдельного знака для обозначения отрицательного числа. Традиционно используемый "минус" одновременно является и знаком вычитания. А это алгебраически неверно и иногда вводит в заблуждение. А как было раньше? Например, в Китае для отрицательных чисел были специальные счетные палочки черного цвета и для положительных - красного. В Индии отрицательные числа отмечали красной горизонтальной чертой непосредственно над самим числом.